3강-2 확률변수의 평균과 분산
1. Expectation(mean) 정의?
2. Poisson Distribution은 언제 쓰는가? 예시?
3. Taylor Series는 언제 사용하는가? 식은 어떠한가?
예제 3.3을 통해 사용해보아라
4. Moment란 무엇인가?
4-1. Central moment란 무엇인가?
4-2. variance의 의미가 무엇이고 variance 값이 클 때와 작을 때와 0일 때의 의미는 무엇인가?
5. 예제 3.4의 E[X]값을 구하여라
7. Linearity의 특성 세가지, 사용 범위, 증명 방법은?
8. ex 3.7의 E[k]와 E[k^2]의 값을 구하여라
1. Expectation(mean) 정의?
random variable에서 mean = a measure of central tendency
확률론에서, 확률 변수의 기댓값(期待값, 영어: expected value,{\displaystyle \operatorname {E} })은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다. 이 경우 '모 평균'으로 다룰수있다.
discrete RV를 위한 식의 경우, 특정한 xi * 확률값 => 평균이 된다.
왜냐면 일반적인 산술평균이 아니라, 각각의 빈도가 다를 경우 아래와 같이 빈도값( wi = n(Ai) 이벤트의 개수)을 변수와 곱해야 한다. 특히 분모의 경우 샘플 스페이스의 수를 나타내는 게 빈도 값의 합이라 할 수 있다.
출처: 위키백과
2. Poisson Distribution은 언제 쓰는가? 예시?
포아송 분포는 기본적인 확률분포 중 하나로, time interval 구간동안 이벤트 발생횟수를 rv로 나타냈다. 그리고 이 횟수에 대한 확률분포를 그린 것이다.
포아송 분포의 예시로는 은행이나 우체국에서 사람이 오는 이벤트가 발생할 확률이라든지, 어떤 서버에 들어오는 접속자 수라든지 이러한 예시들이 있다.
아래는 포아송과 이항분포의 관계에 대해서 잘 설명해둔 블로그가 있어 첨부한다.
3. Taylor Series는 언제 사용하는가? 식은 어떠한가?
테일러 급수 (series = 수열의 합)는 무한대 차수로 미분하는 것이다.
테일러 급수는 푸아송 분포 평균을 구할 때 사용한다.
4. Moment란 무엇인가?
확률 모멘트(적률) = 확률분포에 의해 대표값이 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현
n차 모멘트 = 확률변수에 대한 대표값(평균, 분산, 왜도, 첨도 등)을 보다 일반화시킨 것
확률분포 상의 여러 통계량을 일원적으로 살펴볼 수 있음
사실 n차라고 해도, X에 대한 확률분포나 X^n에 대한 확률분포는 같다.
그걸 기억한다면, E[X^n] 이산식에서 왜 xi의 제곱값과 (xi^2이 나올 확률값이 아닌) xi가 나올 확률값을 곱해서 더하면, E[X^n]이 되는지 한결 이해하기 쉬울 것이다.
4-1.
중심 모멘트(Central Moment)
평균값을 중심으로하는 k차 모멘트
센트럴 모멘트를 물리로 비유하자면 무게중심과 같다.
4-2.
중심모멘트에서 k=2일 때, variance가 나오게 된다.
5. 예제 3.4의 E[X]값을 구하여라
[참고자료]
그래프 그려볼 수 있는 사이트
https://www.desmos.com/calculator
사실 이러한 값을 구할 때, 맨 처음에는
1. 확률변수의 형태를 살핀다. 포아송 형태인지 지수분포(exponential distribution)의 형태인지 살펴본다.
2. parameter λ => parametric probability density estimation
포아송의 경우, 이 파라미터만 알면 모델링이 가능하다
포아송 형태나 지수분포 형태처럼 확률분포가 정해졌다면 λ를 구하면 되고,
특정한 확률분포를 갖기 어려울 때는 λ이 구해지지 않을 것이다.
6. Linearity의 특성
Linearity는 선형성이다.
특성
1) homogeniety
f(ax) = a*f(x)
-> 원점을 통과하는 직선만 가능
2) superposition
f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)
3) 위 두가지 조건을 동시에 만족해야한다!
고로 증명 방법은 f(ax1 + bx2) = af(x1) + bf(x2) 인지 확인한다.
[사용 예시들]
1) 원점을 지나는 직선 y=ax
2) operations -> 함수 뿐만 아니라 연산과정에도 적용
- 미/적분
- Ax = b (행렬 변환) 각각 곱하나 실수배를 하나 다 같음
3) Expectation을 구하는 과정 : 확률값 구해 적분
7. ex 3.7의 E[k]와 E[k^2]의 값을 구하여라
한양대 확률 및 통계 이상화교수님 강의노트 발췌
출처:
모멘트
http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=5121
확률 모멘트 [정보통신기술용어해설]
www.ktword.co.kr
이상화 교수님의 확률 및 통계
'대학원 공부 > 확률과 통계' 카테고리의 다른 글
| 여러가지 이산확률분포 (5-1강) (0) | 2020.07.14 |
|---|---|
| 조건부 평균 (4강) (0) | 2020.07.12 |
| 이산확률변수와 연속확률변수(3강-1) (4/14) (0) | 2020.07.09 |
| 확률변수의 정의(2강-2) (3/14) (0) | 2020.07.09 |
| 독립사건과 확률(2강) (2/14) (0) | 2020.07.08 |
