독립사건과 확률(2강) (2/14)

확률 및 통계: 독립사건과 확률(2강)

 

1. 순열(Permutation)이란? (순열에서 n!의 정의,nPr의 정의와 식)

2. 원순열(Circular Permutation) 10명이 5각형에 둘러앉아있을 때, 경우의 수는?

3. Combination의 정의, 식, 나타내는 방법

4. f(x) = (1+x)^n을 Combination을 이용해 이항정리식으로 바꿀 것

4-1. f(x)를 미분하면?

5. Stirling's Formula에 따르면 n! = ?

6. 직렬 R(t) 식은?

7. 병렬 R(t) 식은?

8. ex 1.36

 

 

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1. nPr 이라고 나타내며, n개 중에 r개를 뽑아 "일렬로 나열"하는 경우의 수

nPr = n!/(n-r)! = 팩토리얼(!)이 r개만큼만 곱해지게 됨

 

2. 한칸씩 옮기면 경우의 수가 같은 원순열로 볼 수 있기에 10!/10 그리고 5각형에 2명씩 반복되기에 x2 를 해준다

결론적으로 10!/10*2

 

3. Combination이란 nCr로 나타내며, 순서에 상관없이 n개중 r개를 뽑는 것

nCr = (nPr)/(r!)

(n 엔터 r )

이렇게 긴 괄호안에 n을 윗줄 r을 아랫줄에 넣은 형태로도 사용한다.

 

4.

(1+x)^n = ∑(i=0부터 n까지) nCi*x^i

 

[이항정리 증명]

이항정리 식전개

 

4-1. f'(x) = n(1+x)^(n-1)

∑(i=0부터 n까지) nCi*i*x^(i-1)

 

5. Stirling's Formula

n!이 너무 커서, 추정값을 만드는 것

n! = √(2πn)*(n/e)^n

 

6. R(t) = ∏(i=1부터 n까지) Ri(t)

R(t) = R(c1)*R(c2)*R(c3) ... R(Cn)

 

7. R(t) = 1-(∏(i=1부터 n까지) (1-Ri(t))

 

8.

i) C3 - 동작안함

Ry = 1 - (1-R1R4)*(1-R2R5)

확률로는 Ry*(1-R3)

 

※ 왜 1-Ri로 하지?

=> 직접 풀어봤을 때, 합집합에서 교집합을 뺀 값이 나옴!

Ry = R2R5 + R1R4 - R1*R2*R4*R5

이렇게 들어가서, Ri로만 했을 때는 R2,R5,R1,R4가 겹쳐서 생기는 경우의 수를 빼지 못한다.

 

ii) C3 - 동작잘함

Rx = [(1-(1-R1)(1-R2))*(1-(1-R4)(1-R5)]

확률로는 Rx*R3

 

Rx = [1-(1-R1)*(1-R2)]*[1-(1-R4)*(1-R5)] 인데

이 말은 C1과 C2가 한 개 이상 동작하고, 동시에 C4와 C5가 한개 이상 동작할 확률을 나타낸 것이다.

 

이게 되는 이유는

C3가 작동을 하기에 C1 -> C4 직선코스로 가능! C1 -> C5도 C3를 지난 교차코스로 가능!

즉 R1과 R2 둘 중에 하나가 작동하고 R4나 R5 중에 하나가 작동해도 충분히 작동을 한다는 것이다.

 

그러면 위에서 계산한 케이스와 겹치지 않을까?

ㄴㄴ

C3라는 변수가 여기서는 켜짐이다보니까, 다른 경우의 수로 산출됨

우리가 구하는 것은 전체 시도 중에서 작동이 되는 시도이기에,

흐름은 C1에서 C4로 흘러가더라도 C3가 되는 것과 되지 않는 것은 다른 경우의 수이다.

 

결론!

R =Ry*(1-R3) + Rx*R3

= R1*R4 + R2*R5 + R1R3R5 + R2R3R4 + 2R1R2R3R4R5...