지수분포와 어랑분포(5-2강)

지수분포와 어랑(Erlang)분포를 학습한다.

 

1. 포아송 분포의 의미와 X를 정의하고, Px(X), E[x], σ^2를 나타내어라

 

2. Exponential Distribution(지수분포)에서 X를 정의하고, fx(x), Fx(x), E[X], E[X^2]를 나타내어라

 

3. Forgetfulness property of Exponential Distribution의 정의와 식을 나타내시오

 

4. Relation between Exponential Distribution & Poisson Distribution 나타낼 것

 

5. Erlang Distribution(어랑 분포, 어랭 분포, 얼랑분포, 얼랭분포)의 X를 정의하고, fxk(x), Fxk(x), E[X]를 나타내시오

 5-1. Gamma Function(감마 함수)의 의미를 나타내시오 (어랑 분포 E[X] 구할 때 사용)

 

6. Uniform Distribution의 뜻, fx(x), Fx(x), E[X], E[X^2]?

 

7. Discrete Uniform Distribution 뜻, Pk(k), E[K], E[K^2], σ^2?

 

 

 

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1. 포아송 분포의 의미와 X를 정의하고, Px(X), E[x], σ^2를 나타내어라

포아송 분포는 은행에 업무보러 사람이나 차가 오는 거, 인터넷 서버접속 등을 나타낼 때 사용한다.

 

X: 하나의 정해진 time interval에 베르누이 성공이 몇번있었나

포아송 분포 확률

E[X] = λ

σ^2 = λ

 

 

2. Exponential Distribution(지수분포)에서 X를 정의하고, fx(x), Fx(x), E[X], E[X^2]를 나타내어라

X: lifetime, decaying time 등 타임 인터벌

 

 

 

[식증명]

 

3. Forgetfulness property of Exponential Distribution의 정의와 식을 나타내시오

지수분포를 가지는 한 시스템의 수명에 있어서, t라는 시점까지 살아있을 때(기존의 t는 확률에 관여하지 않음), 추가로 s라는 시점까지 더해서 최대 s라는 시간까지의 생존확률

 

 

P(X<= t+s | X>t) = 1 - e^(-λs)

최대 t+s까지 생존할 확률 | t까지 생존할 때 (조건)

 

4. The relation between Exponential Distribution & Poisson Distribution 나타낼 것

 

포아송 분포	지수 분포
한 타임 인터벌 내에서 발생할 이벤트의 수	한 이벤트와 그 다음 이벤트가 발생할 때까지 소요되는 시간
Px(x) = (λ^x / x!)*e^(-λ), x=0,1,2 λ = 1시간 동안 발생하는 이벤트 수의 평균 값	Fx(t) = 1-e^(-λt) = P(x<=t) = 1-P(X=0) 이벤트가 적어도 한번이상 발생할 확률
타임 인터벌 t동안 1시간 동안의 평균 λ -> t시간동안의 평균 tλ  Px(x) = (λt)^x / x! * e^(-λt) = t시간동안 발생하는 인터뷰의 평균값	Px(X=0) = P(no event) = e^(-λt) 1-P(X=0) = 1-e^(-λt)

 

5. Erlang Distribution(어랑 분포, 어랭 분포, 얼랑분포, 얼랭분포)의 X를 정의하고, fxk(x), Fxk(x), E[X], E[X^2]를 나타내시오

 

지수분포가 어떤 기준점에서 시작해 첫번째 사건이 발생할 때까지 소요되는 시간이라면, 얼랭분포는 n번 성공할 때 까지의 소요시간에 대해 모형화 가능한 것이다. 

 

Xk = 연속적으로 발생하는 이벤트 T의 타임 인터벌 개수

fxk(x) =

얼랭분포(erlang distribution)의 P.D.F. fxk(x)

 

Fxk(x) = (P(Xk <= x) =

얼랭분포의 C.D.F. Fxk(x)

 

E[Xk] = k/λ

E[Xk^2] = k/λ^2

 

참고: fxk(x)의 형태

 

5-1. Gamma Function(감마 함수)의 의미를 나타내시오 (어랑 분포 E[X] 구할 때 사용)

 

자연수가 아닌 2.7!과 같은 것을 생각하였을 때, 적분 이론 등을 써서 0과 음의 정수가 아닌 실수 및 복소수로까지의 계승의 개념을 확장한 것.

 

어랑분포의 E[X] 구하는 법

 

감마함수 기본 식

(자연수)

Γ(x+1) =x!

Γ(x+1) =xΓ(x)

 

 

감마함수 (출처: 수학백과)

 

 

 

출처

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3404941&cid=47324&categoryId=47324

감마함수

 

6. Uniform Distribution의 뜻, fx(x), Fx(x), E[X], E[X^2],σ^2?

어느 위치에서나 동일하게 발생

일정하게 도출되는 것. 예를 들어 Quantization을 할 때 발생하는 에러는 일정한 비율로 발생한다.

 

fx(x) = 1/(b-a), a<=x<=b / 0, else

Fx(x) = (x-a)/(b-a), a<=x<=b / 0, x<a / 1, x>=b

E[X] = (a+b)/2

E[X^2] = (b^2+ab+a^2)/3

σ^2 = (b-a)^2/12

 

7. Discrete Uniform Distribution 뜻, Pk(k), E[K], E[K^2], σ^2?

위처럼 연속함수가 아니라 뜨문뜨문하게 있음

 

Pk(k) = 1/N, k=a,a+1,a+N-1 / 0,others

E[K] = 1/2((a+N-1)+a)

E[K^2] = 1/6(2N^2+6aN+6a^2-6a-3N+1)

σ^2 = 1/12(N^2-1) => N에 대한 함수

 

 

 

강의 출처:

http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1056974